Angles/zh

本文是鼠标运动的延续，重点介绍三角函数在Minecraft中的工作原理。

玩家的偏航角是一个浮点数，用于跟踪玩家的水平旋转（以度为单位）。它是无限的。

玩家的朝向是将偏航角限制为[-180°, 180°]，如F3所示。

有效角，或者简单地说，角度是一个整数 （从 ${\textstyle 0}$ 到 ${\textstyle 2^{16}-1}$）。

有效角

Minecraft 的三角函数依赖于有效角，这意味着玩家的偏航角必须转换为一个角度。

这种转换会导致不精准：一个有效角跨越 ~Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 0.0055°} ).

Sin() and Cos() 原代码 (来自MathHelper):

private static final float[] SIN_TABLE = new float[65536];


public static float sin(float value) //in radians
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F) & 65535];
}

public static float cos(float value) //in radians
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F + 16384.0F) & 65535];
}


static
{
    for (int i = 0; i < 65536; ++i)
    {
        SIN_TABLE[i] = (float)Math.sin((double)i * Math.PI * 2.0D / 65536.0D);
    }
}

Note: & 65535给出除以 65536 的（正）余数（$2^{16}$） 为了将玩家的偏航转换为弧度(当调用sin和cos时)，游戏使用了这两个公式:

//通用公式
f = this.rotationYaw * (float)Math.PI / 180.0F

////添加sprintjump boost时使用的公式
f = this.rotationYaw * 0.017453292F

两者都有相同的目的，但对于较大的值，结果可能不同。

在这种情况下，短跑跳跃将玩家稍微向一侧移动，这对于无转弯策略可能很有用。

半角

(int)(value * 10430.378F) 和 (int)(value * 10430.378F + 16384.0F) 应该相隔 16384 个单位（90°），但由于浮点不精确，某些值可能会进一步相差 1 个或更多个单位，从而导致与预期计算的轻微偏移。

两个连续的角度（30237 和 30238）和中间的正半角。

半角 就是这样的值，可以在连续角的“中间”找到（因此得名）。

半角的存在完全是由于括号内的“+ 16384”。

半角在工具辅助跑酷之外没有太大用处：它们对跳跃距离的影响很小，并且它们几乎无法用于实时鼠标移动。

每个半角都有一个相关的乘数，代表其效益。

它对应于从 cos(f) 和 sin(f) 获得的单位向量的范数。

从数学上讲，它应该始终等于 1，但这在这种情况下并不成立。

• “递增”半角的范数大于 1：它们会增加移动速度。
• “递减”半角的范数小于 1：它们会降低移动速度。

${\textstyle \left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {\cos(f)^{2}+\sin(f)^{2}}}}$

当与给定的跳跃距离相乘时，它以其对应的半角给出了改进跳跃距离的上限。

有用的半角列表

大半角

2021年7月27日，凯米兹发现，当使用Optifine Fast Math（一种将有效角数量减少到4096个的功能）时， 某些偏航角会提供更高的速度。事实上，这并不是快速运算所特有的，很快人们就发现了原版的“大半角”。

大半角更有效，因为在该范围内可以使用的精度浮点数较少：角度最多可以移动 64 个单位，而不是移动一个单位。

例如，偏航角为5898195°时的乘数为1.003，这与小半角(135.0055°的乘数为1.00005)相比是巨大的。这个半角是目前最有效的存在，并使[https://youtu.be/bQfl2Lleafw

2.125bm 4+0.5]之类的跳跃成为可能。

要达到如此高的数值，可能需要使用宏或mod，因为手动旋转需要花费太长时间。

通过快速运算，半角被进一步放大，球员可以在偏航角小于$360\times 2^{19}$运动，而在原版中只能在 $360\times 2^{15}$内运动。

例如，偏航121000000°的乘数是1.09，这是如此可笑，它使平地连跳五远成为可能。这个机制不应该被认为是官方的，因为它依赖于一个mod，并且在服务器上使用这个漏洞可能是未经授权的(即使是Optifine)。

新版本的 Optifine 改变了快速运算的效果，消除了很多 FM 半角（自2019年12月发布的U L5版本以来）。

特征

Decreasing half angles are abundant between -90° and 0°, because negative floats are truncated up while positive floats are truncated down.

Decreasing half angles exist rarely between 0° and 90°.

Increasing half angles exist rarely between 90° and 180°.

Large half angles are of the form $360\times 2^{n}-\theta$, with $\theta \in [0,90]$ and $n\in \{0,...,14\}$. They are all increasing until $n\geq 8$, at which point they may either be increasing or decreasing.