角度

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本文是鼠标运动的续篇，重点讨论三角函数在 Minecraft 中的工作原理。

玩家的偏航角是一个浮点数，用于追踪玩家的水平旋转角度（以度为单位）。这一数值没有界限。

玩家的朝向是将偏航角限制在 [-180°, 180°]范围内，如 F3 所示。

有效角，或简称角度，是一个介于 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 0} 到 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 2^{16}-1} 之间的整数。

有效角

Minecraft 依赖于有效角进行其三角函数计算，这意味着玩家的偏航角需要转换成一个可处理的角度值。

这种转换会引入不精确性，因为一个有效角大约覆盖了 ~Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.0055^{\circ}} 的真实角度范围。

Sin() 与 Cos() 源代码（来自class MathHelper）:

private static final float[] SIN_TABLE = new float[65536];


public static float sin(float value) //以弧度为单位
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F) & 65535];
}

public static float cos(float value) //以弧度为单位
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F + 16384.0F) & 65535];
}


static
{
    for (int i = 0; i < 65536; ++i)
    {
        SIN_TABLE[i] = (float)Math.sin((double)i * Math.PI * 2.0D / 65536.0D);
    }
}

注意： & 65535给出除以 65536（Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{16}} ）的（正）余数为了将玩家的偏航转换为弧度（当调用 sin 和 cos 时），游戏会使用这两个公式：

//通用公式
f = this.rotationYaw * (float)Math.PI / 180.0F

////添加sprintjump boost时使用的公式
f = this.rotationYaw * 0.017453292F

它们的目的是一样的，但对于较大的值，结果可能不同。

在这种情况下，疾跑跳跃会使玩家稍微向一侧移动，这对于创造无转向跳法可能很有用。

半角

(int)(value * 10430.378F) 和 (int)(value * 10430.378F + 16384.0F) 应该相隔 16384 个单位（90°），但由于浮点的不精确性，有些值可能会偏离 1 个或更多的单位，从而导致计算结果稍有偏移。

半角就是这样的值，可以在连续的角度“中间”找到（因此得名）。

半角的存在完全是由于括号内的“+ 16384”。

半角在工具辅助跑酷（Tool-Assisted Parkour）之外没有太大用处：它们对跳跃距离的影响微小，并且很难通过实时鼠标移动来使用。

每个半角都有一个相关的乘数，代表其有效性。

它对应于从 cos(f) 和 sin(f) 获得的单位向量的范数。

从数学上讲，它应该始终等于 1，但在这种情况下并不成立。

“增益”半角的范数大于 1：它们会提升移动速度。
“减益”半角的范数小于 1：它们会降低移动速度。

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left \|\vec{v}\right \|=\sqrt{\cos(f)^{2}+\sin(f)^{2}}}

当与给定的跳跃距离相乘时，它给出了使用相应半角时跳跃距离的上限。

有用的半角列表

大半角

2021 年 7 月 27 日，kemytz 发现，在使用 Optifine 的快速运算（一种将有效角数量减少到4096个的功能）时，某些偏航角可以提供更高的速度。实际上，这并非快速运算所特有的，随后也在原版中发现了“大半角”。

大半角更有效，因为在该范围内，浮点数可以处理的精度较低：角度可以被偏移多达 64 个单位，而不仅仅是一个单位。

例如，偏航角为 5898195° 时的乘数为 1.003，这与小半角（135.0055° 的乘数为 1.00005）相比是巨大的。这个半角是目前最有效的存在，并使 2.125bm 4+0.5 之类的跳跃成为可能。

要达到如此高的数值可能需要使用宏或模组，因为手动旋转会耗时太长。

通过快速运算，半角被进一步放大，玩家可以在偏航角小于 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 360 \times 2^{19}} 移动，而在原版中只能在 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 360 \times 2^{15}} 内移动。

例如，偏航角 121000000° 的乘数是 1.09，这是如此荒谬，它使平地连跳五远成为可能。这个机制不应被视为官方机制，因为它依赖于模组，并且在服务器上使用这个漏洞可能是不被允许的（即使是 Optifine）。

新版本的 Optifine 改变了快速运算的效果，消除了大量快速运算半角（自 2019 年 12 月发布的 U L5 版本以来）。

特征

减益半角在 -90° 和 0° 之间很常见，因为负浮点数向上截断，而正浮点数向下截断。

在 0° 和 90° 之间几乎不存在减益半角。

增益半角很少出现在 90° 和 180° 之间。

大半角的形式为 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 360 \times 2^n - \theta} ，其中 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta \in [0,90]} 且 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \{0, ... ,14\}} 。它们都为增益直到 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \geq 8} ，此时它们既可能是增益又可能是减益。