角度

本文是鼠标运动的延续，着重介绍三角函数在 Minecraft 中的工作原理。

玩家的偏航角是一个浮点数，用于跟踪玩家的水平旋转（以度为单位）。它是无限的。

玩家的朝向是将偏航角限制在 [-180°, 180°]，如 F3 所示。

有效角，或者简单地说，角度是一个整数（从 ${\textstyle 0}$ 到 ${\textstyle 2^{16}-1}$）。

有效角

Minecraft 的三角函数依赖于有效角，即玩家的偏航角必须转换为一个角度。

这种转换导致角度的不精确：一个有效角跨越 ~$0.0055°$。

Sin() 与 Cos() 源代码（来自class MathHelper）:

private static final float[] SIN_TABLE = new float[65536];


public static float sin(float value) //以弧度为单位
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F) & 65535];
}

public static float cos(float value) //以弧度为单位
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F + 16384.0F) & 65535];
}


static
{
    for (int i = 0; i < 65536; ++i)
    {
        SIN_TABLE[i] = (float)Math.sin((double)i * Math.PI * 2.0D / 65536.0D);
    }
}

注意： & 65535给出除以 65536 的（正）余数（$2^{16}$） 为了将玩家的偏航转换为弧度（当调用 sin 和 cos 时），游戏会使用这两个公式：

//通用公式
f = this.rotationYaw * (float)Math.PI / 180.0F

////添加sprintjump boost时使用的公式
f = this.rotationYaw * 0.017453292F

它们的目的是一样的，但对于较大的值，结果可能不同。

在这种情况下，疾跑跳跃会使玩家稍微向一侧移动，这对于创造无转向跳法可能很有用。

半角

(int)(value * 10430.378F) 和 (int)(value * 10430.378F + 16384.0F) 应该相隔 16384 个单位（90°），但由于浮点不精确，某些值可能会进一步相差 1 个或多个单位，导致与预期计算出现轻微偏差。

两个连续的角度（30237 和 30238）和中间的正半角。

半角就是这样的值，可以在连续角的“中间”找到（因此得名）。

半角的存在完全是由于括号内的“+ 16384”。

半角在工具辅助跑酷之外没有太大用处：它们对跳跃距离的影响很小，并且它们几乎无法用于原速下的鼠标移动。

每个半角都有一个相关的乘数，代表其效益。

它对应于从 cos(f) 和 sin(f) 获得的单位向量的范数。

从数学上讲，它应该始终等于 1，但在这种情况下并不成立。

• “增益”半角的范数大于 1：它们会提高移动速度。
• “减益”半角的范数小于 1：它们会降低移动速度。

${\textstyle \left \|\vec{v}\right \|=\sqrt{\cos(f)^{2}+\sin(f)^{2}}}$

当与给定的跳跃距离相乘时，它给出其所对应的半角增益后的跳跃距离上限。

有益的半角列表

大半角

2021 年 7 月 27 日，kemytz 发现，在使用 Optifine 的快速运算（一种将有效角数量减少到4096个的功能）时，某些偏航角可以提供更高的速度。实际上，这并非快速运算所特有的，而且很快就发现了原版的“大半角”。

由于在该范围内可以使用的精度浮点数较少，因此大半角更有效：角度最多可以移动 64 个单位，而不是移动一个单位。

例如，偏航角为 5898195° 时的乘数为 1.003，这与小半角（135.0055° 的乘数为 1.00005）相比是巨大的。这个半角是目前最有效的存在，并使 2.125bm 4+0.5 之类的跳跃成为可能。

要达到如此高的数值可能需要使用宏或模组，因为手动旋转会耗费大量时间。

通过快速运算，半角被进一步放大，玩家可以在偏航角小于 $360 \times 2^{19}$ 运动，而在原版中只能在 $360 \times 2^{15}$ 内运动。

例如，偏航角 121000000° 的乘数是 1.09，这是如此荒谬，它使平地连跳五远成为可能。这个机制不应被视为官方机制，因为它依赖于 Mod，并且在服务器上使用这个漏洞可能是未经许可的（即使是 Optifine）。

新版本的 Optifine 改变了快速运算的效果，消除了大量快速运算半角（自 2019 年 12 月发布的 U L5 版本以来）。

特征

减益半角在 -90° 和 0° 之间很常见，因为负浮点数向上截断，而正浮点数向下截断。

在 0° 和 90° 之间几乎不存在减益半角。

增益半角很少出现在 90° 和 180° 之间。

大半角的形式为 $360 \times 2^n - \theta$，其中 $\theta \in [0,90]$ 以及 $n \in \{0, ... ,14\}$。它们都为增益直到 $n \geq 8$，此时它们既可能是增益又可能是减益。