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本文是鼠標運動的延續，着重介紹三角函數在 Minecraft 中的工作原理。

玩家的偏航角是一個浮點數，用於跟蹤玩家的水平旋轉（以度為單位）。它是無限的。

玩家的朝向是將偏航角限制在 [-180°, 180°]，如 F3 所示。

有效角，或者簡單地說，角度是一個整數（從 ${\textstyle 0}$ 到 ${\textstyle 2^{16}-1}$）。

有效角

Minecraft 的三角函數依賴於有效角，即玩家的偏航角必須轉換為一個具體角度。

這種轉換導致角度的不精確：一個有效角跨越 ~Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.0055°} 。

Sin() 與 Cos() 原始碼（來自class MathHelper）:

private static final float[] SIN_TABLE = new float[65536];


public static float sin(float value) //以弧度为单位
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F) & 65535];
}

public static float cos(float value) //以弧度为单位
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F + 16384.0F) & 65535];
}


static
{
    for (int i = 0; i < 65536; ++i)
    {
        SIN_TABLE[i] = (float)Math.sin((double)i * Math.PI * 2.0D / 65536.0D);
    }
}

注意： & 65535給出除以 65536（$2^{16}$）的（正）餘數 為了將玩家的偏航轉換為弧度（當調用 sin 和 cos 時），遊戲會使用這兩個公式：

//通用公式
f = this.rotationYaw * (float)Math.PI / 180.0F

////添加sprintjump boost时使用的公式
f = this.rotationYaw * 0.017453292F

它們的目的是一樣的，但對於較大的值，結果可能不同。

在這種情況下，疾跑跳躍會使玩家稍微向一側移動，這對於創造無轉向跳法可能很有用。

半角

(int)(value * 10430.378F) 和 (int)(value * 10430.378F + 16384.0F) 應該相隔 16384 個單位（90°），但由於浮點不精確，某些值可能會進一步相差 1 個或多個單位，導致與預期計算出現輕微偏差。

兩個連續的角度（30237 和 30238）和中間的正半角。

半角就是這樣的值，可以在連續角的「中間」找到（因此得名）。

半角的存在完全是由於括號內的「+ 16384」。

半角在工具輔助跑酷之外沒有太大用處：它們對跳躍距離的影響很小，並且它們幾乎無法用於原速下的鼠標移動。

每個半角都有一個相關的乘數，代表其效益。

它對應於從 cos(f) 和 sin(f) 獲得的單位向量的範數。

從數學上講，它應該始終等於 1，但在這種情況下並不成立。

• 「增益」半角的範數大於 1：它們會提高移動速度。
• 「減益」半角的範數小於 1：它們會降低移動速度。

${\textstyle \left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {\cos(f)^{2}+\sin(f)^{2}}}}$

當與給定的跳躍距離相乘時，它給出其所對應的半角增益後的跳躍距離上限。

有益的半角列表

大半角

2021 年 7 月 27 日，kemytz 發現，在使用 Optifine 的快速運算（一種將有效角數量減少到4096個的功能）時，某些偏航角可以提供更高的速度。實際上，這並非快速運算所特有的，而且很快就發現了原版的「大半角」。

由於在該範圍內可以使用的精度浮點數較少，因此大半角更有效：角度最多可以移動 64 個單位，而不是移動一個單位。

例如，偏航角為 5898195° 時的乘數為 1.003，這與小半角（135.0055° 的乘數為 1.00005）相比是巨大的。這個半角是目前最有效的存在，並使 2.125bm 4+0.5 之類的跳躍成為可能。

要達到如此高的數值可能需要使用宏或模組，因為手動旋轉會耗費大量時間。

通過快速運算，半角被進一步放大，玩家可以在偏航角小於 $360\times 2^{19}$ 運動，而在原版中只能在 $360\times 2^{15}$ 內運動。

例如，偏航角 121000000° 的乘數是 1.09，這是如此荒謬，它使平地連跳五遠成為可能。這個機制不應被視為官方機制，因為它依賴於 Mod，並且在伺服器上使用這個漏洞可能是未經許可的（即使是 Optifine）。

新版本的 Optifine 改變了快速運算的效果，消除了大量快速運算半角（自 2019 年 12 月發佈的 U L5 版本以來）。

特徵

減益半角在 -90° 和 0° 之間很常見，因為負浮點數向上截斷，而正浮點數向下截斷。

在 0° 和 90° 之間幾乎不存在減益半角。

增益半角很少出現在 90° 和 180° 之間。

大半角的形式為 $360\times 2^{n}-\theta$，其中 $\theta \in [0,90]$ 且 $n\in \{0,...,14\}$。它們都為增益直到 $n\geq 8$，此時它們既可能是增益又可能是減益。