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本文是鼠標運動的延續，着重介紹三角函數在 Minecraft 中的工作原理。

玩家的偏航角是一個浮點數，用於跟蹤玩家的水平旋轉（以度為單位）。它是無限的。

玩家的朝向是將偏航角限制在 [-180°, 180°]，如 F3 所示。

有效角，或者簡單地說，角度是一個整數（從 ${\textstyle 0}$ 到 ${\textstyle 2^{16}-1}$ ）。

有效角

Minecraft 的三角函數依賴於有效角，即玩家的偏航角必須轉換為一個具體角度。

這種轉換導致角度的不精確：一個有效角跨越 ~Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 0.0055°} 。

Sin() 與 Cos() 原始碼（來自class MathHelper）:

private static final float[] SIN_TABLE = new float[65536];


public static float sin(float value) //以弧度为单位
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F) & 65535];
}

public static float cos(float value) //以弧度为单位
{
    return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F + 16384.0F) & 65535];
}


static
{
    for (int i = 0; i < 65536; ++i)
    {
        SIN_TABLE[i] = (float)Math.sin((double)i * Math.PI * 2.0D / 65536.0D);
    }
}

注意： & 65535給出除以 65536（ $2^{16}$ ）的（正）餘數為了將玩家的偏航轉換為弧度（當調用 sin 和 cos 時），遊戲會使用這兩個公式：

//通用公式
f = this.rotationYaw * (float)Math.PI / 180.0F

////添加sprintjump boost时使用的公式
f = this.rotationYaw * 0.017453292F

它們的目的是一樣的，但對於較大的值，結果可能不同。

在這種情況下，疾跑跳躍會使玩家稍微向一側移動，這對於創造無轉向跳法可能很有用。

半角

(int)(value * 10430.378F) 和 (int)(value * 10430.378F + 16384.0F) 應該相隔 16384 個單位（90°），但由於浮點不精確，某些值可能會進一步相差 1 個或多個單位，導致與預期計算出現輕微偏差。

半角就是這樣的值，可以在連續角的「中間」找到（因此得名）。

半角的存在完全是由於括號內的「+ 16384」。

半角在工具輔助跑酷之外沒有太大用處：它們對跳躍距離的影響很小，並且它們幾乎無法用於原速下的鼠標移動。

每個半角都有一個相關的乘數，代表其效益。

它對應於從 cos(f) 和 sin(f) 獲得的單位向量的範數。

從數學上講，它應該始終等於 1，但在這種情況下並不成立。

「增益」半角的範數大於 1：它們會提高移動速度。
「減益」半角的範數小於 1：它們會降低移動速度。

${\textstyle \left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {\cos(f)^{2}+\sin(f)^{2}}}}$

當與給定的跳躍距離相乘時，它給出其所對應的半角增益後的跳躍距離上限。

有益的半角列表

大半角

2021 年 7 月 27 日，kemytz 發現，在使用 Optifine 的快速運算（一種將有效角數量減少到4096個的功能）時，某些偏航角可以提供更高的速度。實際上，這並非快速運算所特有的，而且很快就發現了原版的「大半角」。

由於在該範圍內可以使用的精度浮點數較少，因此大半角更有效：角度最多可以移動 64 個單位，而不是移動一個單位。

例如，偏航角為 5898195° 時的乘數為 1.003，這與小半角（135.0055° 的乘數為 1.00005）相比是巨大的。這個半角是目前最有效的存在，並使 2.125bm 4+0.5 之類的跳躍成為可能。

要達到如此高的數值可能需要使用宏或模組，因為手動旋轉會耗費大量時間。

通過快速運算，半角被進一步放大，玩家可以在偏航角小於 $360\times 2^{19}$ 運動，而在原版中只能在 $360\times 2^{15}$ 內運動。

例如，偏航角 121000000° 的乘數是 1.09，這是如此荒謬，它使平地連跳五遠成為可能。這個機制不應被視為官方機制，因為它依賴於 Mod，並且在伺服器上使用這個漏洞可能是未經許可的（即使是 Optifine）。

新版本的 Optifine 改變了快速運算的效果，消除了大量快速運算半角（自 2019 年 12 月發佈的 U L5 版本以來）。

特徵

減益半角在 -90° 和 0° 之間很常見，因為負浮點數向上截斷，而正浮點數向下截斷。

在 0° 和 90° 之間幾乎不存在減益半角。

增益半角很少出現在 90° 和 180° 之間。

大半角的形式為 $360\times 2^{n}-\theta$ ，其中 $\theta \in [0,90]$ 且 $n\in \{0,...,14\}$ 。它們都為增益直到 $n\geq 8$ ，此時它們既可能是增益又可能是減益。

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 <languages/>
-本文是[[Special:MyLanguage/Mouse Movement|鼠标运动]]的延续，着重介绍三角函数在Minecraft中的工作原理。
+本文是[[Special:MyLanguage/Mouse Movement|鼠标运动]]的延续，着重介绍三角函数在 Minecraft 中的工作原理。
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 玩家的'''偏航角'''是一个[http://zh.wiki.sxisa.org/wiki/%E6%B5%AE%E7%82%B9%E6%95%B0 浮点数]，用于跟踪玩家的水平旋转（以度为单位）。它是'''无限的'''。
-玩家的'''朝向'''是将偏航角限制在[-180°, 180°]，如[[Special:MyLanguage/Debug Screen|F3]]所示。
+玩家的'''朝向'''是将偏航角限制在 [-180°, 180°]，如 [[Special:MyLanguage/Debug Screen|F3]] 所示。
-'''有效角'''，或者简单地说，'''角度'''是一个整数 （从 <math display="inline">0</math> 到 <math display="inline">2^{16}-1</math>）。
+'''有效角'''，或者简单地说，'''角度'''是一个整数（从 <math display="inline">0</math> 到 <math display="inline">2^{16}-1</math>）。
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+<span id="Significant_Angles"></span>
 == 有效角 ==
-Minecraft 的三角函数依赖于有效角，即玩家的偏航角必须转换为一个角度。
+Minecraft 的三角函数依赖于有效角，即玩家的偏航角必须转换为一个具体角度。
+<div class="mw-translate-fuzzy">
-这种转换会导致不精准：一个有效角跨越 ~<math>0.0055°</math>).
+这种转换导致角度的不精确：一个有效角跨越 ~<math>0.0055°</math>。
+</div>
-'''Sin() and Cos() 原代码''' (来自[[SourceCode:MathHelper|MathHelper]]):<syntaxhighlight lang="java">
+'''Sin() 与 Cos() 源代码'''（来自class MathHelper）:<syntaxhighlight lang="java">
 private static final float[] SIN_TABLE = new float[65536];
-public static float sin(float value) //in radians
+public static float sin(float value) //以弧度为单位
 {
     return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F) & 65535];
 }
-public static float cos(float value) //in radians
+public static float cos(float value) //以弧度为单位
 {
     return SIN_TABLE[(int)(value * 10430.378F + 16384.0F) & 65535];
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     }
 }
-</syntaxhighlight>'''Note:''' ''<code>& 65535</code>''给出除以 65536 的（正）余数（<math>2^{16}</math>）
+</syntaxhighlight>'''注意：''' ''<code>& 65535</code>''给出除以 65536（<math>2^{16}</math>）的（正）余数
-为了将玩家的偏航转换为弧度(当调用sin和cos时)，游戏使用了这两个公式:<syntaxhighlight lang="java">
+为了将玩家的偏航转换为弧度（当调用 sin 和 cos 时），游戏会使用这两个公式：<syntaxhighlight lang="java">
 //通用公式
 f = this.rotationYaw * (float)Math.PI / 180.0F
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 f = this.rotationYaw * 0.017453292F
 </syntaxhighlight>
-两者都有相同的目的，但对于较大的值，结果可能不同。
+它们的目的是一样的，但对于较大的值，结果可能不同。
-在这种情况下，短跑跳跃将玩家稍微向一侧移动，这对于无转弯策略可能很有用。
+在这种情况下，疾跑跳跃会使玩家稍微向一侧移动，这对于创造无转向跳法可能很有用。
+<span id="Half_Angles"></span>
 == 半角 ==
-<code>(int)(value * 10430.378F)</code> 和 <code>(int)(value * 10430.378F + 16384.0F)</code> 应该相隔 16384 个单位（90°），但由于浮点不精确，某些值可能会进一步相差 1 个或更多个单位，从而导致与预期计算的轻微偏移。
+<code>(int)(value * 10430.378F)</code> 和 <code>(int)(value * 10430.378F + 16384.0F)</code> 应该相隔 16384 个单位（90°），但由于浮点不精确，某些值可能会进一步相差 1 个或多个单位，导致与预期计算出现轻微偏差。
-[[File:Half angle visualized.png|thumb|582x582px|两个连续的角度（30237 和 30238）和中间的正半角。]]'''半角''' 就是这样的值，可以在连续角的“中间”找到（因此得名）。
+[[File:Half angle visualized.png|thumb|582x582px|两个连续的角度（30237 和 30238）和中间的正半角。]]'''半角'''就是这样的值，可以在连续角的“中间”找到（因此得名）。
 半角的存在完全是由于括号内的“+ 16384”。
-半角在工具辅助跑酷之外没有太大用处：它们对跳跃距离的影响很小，并且它们几乎无法用于实时鼠标移动。
+半角在工具辅助跑酷之外没有太大用处：它们对跳跃距离的影响很小，并且它们几乎无法用于原速下的鼠标移动。
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 它对应于从 cos(f) 和 sin(f) 获得的单位向量的范数。
-从数学上讲，它应该始终等于 1，但这在这种情况下并不成立。
+从数学上讲，它应该始终等于 1，但在这种情况下并不成立。
-* “递增”半角的范数大于 1：它们会增加移动速度。
+* “增益”半角的范数大于 1：它们会提高移动速度。
-* “递减”半角的范数小于 1：它们会降低移动速度。
+* “减益”半角的范数小于 1：它们会降低移动速度。
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-当与给定的跳跃距离相乘时，它以其对应的半角给出了改进跳跃距离的上限。
+当与给定的跳跃距离相乘时，它给出其所对应的半角增益后的跳跃距离上限。
-[[Special:MyLanguage/Positive Half Angles|有用的半角列表]]
+[[Special:MyLanguage/Positive Half Angles|有益的半角列表]]
+<span id="Large_Half_Angles"></span>
 == 大半角 ==
-年7月27日，凯米兹发现，当使用Optifine Fast Math（一种将有效角数量减少到4096个的功能）时， [https://youtu.be/eMDajBi_QW0 某些偏航角会提供更高的速度]。事实上，这并不是快速运算所特有的，很快人们就发现了原版的“大半角”。
+年 7 月 27 日，kemytz 发现，在使用 Optifine 的快速运算（一种将有效角数量减少到4096个的功能）时，[https://youtu.be/eMDajBi_QW0 某些偏航角可以提供更高的速度]。实际上，这并非快速运算所特有的，而且很快就发现了原版的“大半角”。
-大半角更有效，因为在该范围内可以使用的精度浮点数较少：角度最多可以移动 64 个单位，而不是移动一个单位。
+由于在该范围内可以使用的精度浮点数较少，因此大半角更有效：角度最多可以移动 64 个单位，而不是移动一个单位。
-例如，偏航角为5898195°时的乘数为1.003，这与小半角(135.0055°的乘数为1.00005)相比是巨大的。这个半角是目前最有效的存在，并使[https://youtu.be/bQfl2Lleafw
+例如，偏航角为 5898195° 时的乘数为 1.003，这与小半角（135.0055° 的乘数为 1.00005）相比是巨大的。这个半角是目前最有效的存在，并使 [https://youtu.be/bQfl2Lleafw  2.125bm 4+0.5] 之类的跳跃成为可能。
-.125bm 4+0.5]之类的跳跃成为可能。
-要达到如此高的数值，可能需要使用宏或mod，因为手动旋转需要花费太长时间。
+要达到如此高的数值可能需要使用宏或模组，因为手动旋转会耗费大量时间。
-通过快速运算，半角被进一步放大，球员可以在偏航角小于<math>360 \times 2^{19}</math>运动，而在原版中只能在 <math>360 \times 2^{15}</math>内运动。
+通过快速运算，半角被进一步放大，玩家可以在偏航角小于 <math>360 \times 2^{19}</math> 运动，而在原版中只能在 <math>360 \times 2^{15}</math> 内运动。
-例如，偏航121000000°的乘数是1.09，这是如此可笑，它使[https://youtu.be/Juz9bDZa5rc 平地连跳五远成为可能]。这个机制不应该被认为是官方的，因为它依赖于一个mod，并且在服务器上使用这个漏洞可能是未经授权的(即使是Optifine)。
+例如，偏航角 121000000° 的乘数是 1.09，这是如此荒谬，它使[https://youtu.be/Juz9bDZa5rc 平地连跳五远成为可能]。这个机制不应被视为官方机制，因为它依赖于 Mod，并且在服务器上使用这个漏洞可能是未经许可的（即使是 Optifine）。
-新版本的 Optifine 改变了快速运算的效果，消除了很多 FM 半角（自2019年12月发布的U L5版本以来）。
+新版本的 Optifine 改变了快速运算的效果，消除了大量快速运算半角（自 2019 年 12 月发布的 U L5 版本以来）。
+<span id="Characterization"></span>
 == 特征 ==
-减速的半角在-90°和0°之间很常见，因为负浮点数向上截断，而正浮点数向下截断
+减益半角在 -90° 和 0° 之间很常见，因为负浮点数向上截断，而正浮点数向下截断。
-在0°和90°之间很少存在减速的半角。
+在 0° 和 90° 之间几乎不存在减益半角。
-加速的半角很少出现在90°和180°之间。
+增益半角很少出现在 90° 和 180° 之间。
-大半角的形式为<math>360 \times 2^n - \theta</math>，其中 <math>\theta \in [0,90]</math> 以及 <math>n \in \{0, ... ,14\}</math>。 它们都在增加直到<math>n \geq 8</math>，此时它们可能会增加或减少。
+大半角的形式为 <math>360 \times 2^n - \theta</math>，其中 <math>\theta \in [0,90]</math> 且 <math>n \in \{0, ... ,14\}</math>。它们都为增益直到 <math>n \geq 8</math>，此时它们既可能是增益又可能是减益。