非递归公式

由于算术几何序列有明确的公式，我们可以建立非递归函数来计算简单但有用的结果，例如在任一 tick 上玩家的高度，或者在初始速度与持续时间的基础上计算跳跃的距离。

定义：

• ${\textstyle v_{0}}$ 是玩家的初始速度（跳跃之前，$t_{0}$ 时的速度）
• ${\textstyle t}$ 是计入的 ticks 数（例如：平地上 t=12，参见跳跃持续时间）
• ${\textstyle J}$ 是“跳跃增益”（疾跑跳跃为 0.3274，斜疾跑跳跃为 0.291924，45°无疾跑跳跃为 1.0……）
• ${\textstyle M}$ 是跳跃后的移动乘数（45°斜疾跑为 1.3，正常疾跑为 1.274，无疾跑45°为 1.0……）

垂直运动（跳跃）[1.8]

跳跃后的垂直速度（$t\geq 6$）

${\textstyle {\textrm {V}}_{Y}(t)=4\times 0.98^{t-5}-3.92}$

跳跃后的相对高度（$t\geq 6$）

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \textrm{Y}_{rel}(t) = \underset{\textrm{跳跃最高点}}{\underbrace{197.4 - 217 \times 0.98^5}} + 200 (0.98-0.98^{t-4}) - 3.92 (t-5)}

对于 ${\textstyle t<6}$ 的情况，见下文。

垂直运动（跳跃）[1.9+]

跳跃后的垂直速度（$t\geq 1$）

${\textstyle {\textrm {V}}_{Y}(t)=0.42\times 0.98^{t-1}+4\times 0.98^{t}-3.92}$

跳跃后的相对高度（$t\geq 0$）

${\textstyle {\textrm {Y}}_{rel}(t)=217\times (1-0.98^{t})-3.92t}$

Horizontal Movement (instant jump)

假设玩家在跳跃前已经在空中。

疾跑跳跃后的水平速度（$t\geq 2$）

${\textstyle {\textrm {V}}_{H}(v_{0},t)={\frac {0.02M}{0.09}}+0.6\times 0.91^{t}\times \left(v_{0}+{\frac {J}{0.91}}-{\frac {0.02M}{0.6\times 0.91\times 0.09}}\right)}$

疾跑跳跃距离（$t\geq 2$）

${\textstyle {\textrm {Dist}}(v_{0},t)=1.91v_{0}+J+{\frac {0.02M}{0.09}}(t-2)+{\frac {0.6\times 0.91^{2}}{0.09}}\times (1-0.91^{t-2})\times \left(v_{0}+{\frac {J}{0.91}}-{\frac {0.02M}{0.6\times 0.91\times 0.09}}\right)}$

注意：这些公式对于大多数 $v_{0}$ 的值来说都是准确的，但是一些负值会在某个时间点触发速度阈值并重置玩家速度，从而使这些公式不准确。

Horizontal Movement (delayed jump)

Assuming the player is on ground before jumping (at least 1 tick since landing).

Horizontal speed after sprintjumping ($t\geq 2$)

${\textstyle {\textrm {V}}_{H}^{*}(v_{0},t)={\frac {0.02M}{0.09}}+0.6\times 0.91^{t}\times \left(0.6v_{0}+{\frac {J}{0.91}}-{\frac {0.02M}{0.6\times 0.91\times 0.09}}\right)}$

Sprintjump distance ($t\geq 2$)

${\textstyle {\textrm {Dist}}^{*}(v_{0},t)=1.546v_{0}+J+{\frac {0.02M}{0.09}}(t-2)+{\frac {0.6\times 0.91^{2}}{0.09}}\times (1-0.91^{t-2})\times \left(0.6v_{0}+{\frac {J}{0.91}}-{\frac {0.02M}{0.6\times 0.91\times 0.09}}\right)}$

Advanced Formulas

Horizontal speed after $n$ consecutive sprintjumps on a momentum of period ${\textstyle T}$ ($n\geq 0$, $T\geq 2$).

${\textstyle {\textrm {V}}_{H}^{\,n}(v_{0},T,n)=\left(0.6\times 0.91^{T}\right)^{n}v_{0}+\left(0.6\times 0.91^{T-1}J+0.02M{\frac {1-0.91^{T-1}}{0.09}}\right){\frac {1-(0.6\times 0.91^{T})^{n}}{1-0.6\times 0.91^{T}}}}$

If the first sprintjump is delayed, multiply ${\textstyle v_{0}}$ by 0.6